教学难点：设未知数，列方程；一元二次方程和一元二次方程一般形式特点的概括。
2.3 学法指导分析
（1）这节课教学的创新点之一是选择合适的教学结构。根据一元二次方程知识的逻辑结构及隐含在知识背后的思想方法结构，这节课有以下四种教学结构可供选择：
①回顾方程概念→演绎得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种接受式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“类属关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“类属关系”），且教学效率较高。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管这种方式有利于发展学生的逻辑推理能力，但不利于发展学生的合情推理能力。目前学生合情推理能力比较弱，且这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式不利于学生和谐发展。
②回顾一元一次方程概念→类比得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“并列结合关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“并列结合关系”），有利于发展学生的类比推理能力。但纯数学操作，不利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性。尽管学生的类比推理能力比较弱，但这节课的数学本质是体会方程思想。因此，这种方式也不利于学生和谐发展。
③呈现若干实际问题→用方程思想建立数学模型→概括得出一元二次方程特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种发现式学习方式为主的呈现方式，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”），有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，有利于发展学生符号化能力和概括能力，且合适的情景有利于激发学生的学习情趣。但这种教学方式过程缓慢，会对按时完成教学任务带来挑战。
④呈现有意义的实际问题→用方程思想建立数学模型→用数学方法解决实际问题→反思、提炼数学模型的特点→类比给出一元二次方程概念→类比给出一元二次方程的一般形式→概念的应用、辨析与建构。这种“问题驱动”的方法，符合认知同化理论（新旧知识的联系方式是“总括关系”，新知识与学生已有认知结构中的有关知识的联系方式也有“总括关系”）。其优点是：能使学生经历用一元二次方程解决实际问题的全过程，有利于学生体会方程思想和感受学习一元二次方程的必要性，且有能力发展点、个性和创新精神培养点。其缺点是：“一个例子打天下”缺乏概括基础，同样存在学习过程缓慢的问题。
这就是说，第三种教学方式，不但符合认知同化理论，而且最能反映数学的本质和最有利于学生认知发展。
（2）这节课教学的创新点之二是选择合适的教学内容。①为有利于学生体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，课本提供了三个现实问题：第一个是包装盒表面展开图的问题；第二个是把面积为4平方米的一张纸分割成正方形和长方形两个部分的问题；第三个是增长率问题，背景材料是浙江省2001年和2003年生产总值的数据。我觉得第一个问题有能力发展点，应该借用；第二个问题与第一个问题类型相同（都是用面积或体积关系来列方程），可以考虑用其它类型的问题来替换，使问题的类型更和谐；第三个问题的背景不具有时代性，其背景材料可以考虑替换，使物质的景更能激发学生精神的情，如果找不到浙江省近几年生产总值的数据，也可以用其他问题来替换，但替换的问题要与原问题承载的目标保持一致。②从实际问题到数学模型，再从数学模型到一元二次方程的特征，是学生认识一元二次方程概念的第一次飞跃；通过对概念的应用、辨析与建构——沟通知识之间的内在联结与变式活动，使学生多方位丰富完善概念，区分、评价此概念与彼概念，明确概念的本质属性和非本质属性，使概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，是学生认识一元二次方程概念的第二次飞跃。但教材提供的材料不能满足学生多方位丰富完善概念的需要，需要根据教学目标适当增补教学内容。
这就是说，需要教师再次开发教材，使教学内容具有个性化并满足实现教学目标的需要。
（3）这节课教学的创新点之三是选择合适的教学方法。从现实问题到数学模型，需要经历“数学化”的过程，部分学生“数学化”能力弱，需要教师在理解数学和了解学生的基础上，根据“最近发展区”理论提供合适的感性材料，并用“暗示”的方法激活学生已有的知识与经验及激发学生的学习情趣。从数学模型到一元二次方程的特点，需要经历反省、内化和概括的过程，部分学生理性思维能力弱，需要教师用合适的“问题清单”驱动学生的思维（打开学生理性思维的“闸门”），帮助学生渡过“抽象”难关。从一元二次方程的特点到一元二次方程特点的形式化表达，需要经历用简练的文字形式和符号表示的过程，需要教师用“点拨”的艺术激活学生数学表示的经验，帮助学生仿效。从一元二次方程特点的形式化表达到一元二次方程概念的建构，需要经历概念的应用、辨析与建构的过程，需要教师提供概念的应用、辨析与建构的合适的“问题清单”，并运用“独立学习”、讨论、积极的认知干预等指导艺术，帮助学生实现概念建构和发展认知。
这就是说，根据学习内容的特点，这节课宜采用发现性学习与有意义的接受性学习相结合的方法。在学习过程中，教师需采用“独立学习”、讨论、“暗示”、点拨、积极的认知干预等指导艺术。
3 教学决策
3.1 教学目标设计
（1）借助与一元二次方程有关的合适的若干现实问题并通过经历现实问题转化为数学模型的过程，体会方程思想，感受学习一元二次方程的必要性，发展符号化能力和数学化经验；
（2）借助现实问题的数学模型并通过经历观察、比较、概括的过程，明确一元二次方程的特点，发展理性思维能力；