①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;
③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;
④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.
其中正确的个数是 世纪金榜导学号( A )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2020·道里区期末)四边形ABCD的对角线AC=9 cm,BD=5 cm,顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形的周长等于 14 cm.
5.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB∶AD= 1∶2 时,四边形MENF是正方形.世纪金榜导学号
6.如图,以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形,再以所得四边形四边中点为顶点作四边形,…,依次作下去,图中所作的第三个四边形的周长为 
;所作的第n个四边形的周长为 4
. 世纪金榜导学号
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=
∠OCB.
(1)求证:平行四边形ABCD是矩形.
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAO=∠OCB,∠ADO=∠OBC,
又∵∠OBC=∠OCB,∴∠DAO=∠ADO,
∴OB=OC,OA=OD,∴OB+OD=OA+OC,
即AC=BD.∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)AB=AD(答案不唯一).
8.(14分)如图,以△ABC的各边为边长,在边BC的同侧分别作正方形ABDI,正方形BCFE,正方形ACHG,连接AD,DE,EG.世纪金榜导学号
(1)求证:△BDE≌△BAC.
(2)①设∠BAC=α,请用含α的代数式表示∠EDA,∠DAG;
②求证:四边形ADEG是平行四边形.
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?请说明理由.
解:(1)∵四边形ABDI,四边形BCFE,四边形ACHG都是正方形,∴AB=BD,BC=BE,∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°.
∴∠ABC=∠EBD(同为∠EBA的余角).
