圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积．
(2015·昆明西山区二模)如图，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠A＝2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD，若BE＝OE＝2.
(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)．
【思路点拨】 (1)要证AD为⊙O的切线，由点D在⊙O上可知，只需连接OD，证明OD⊥AD.由OC＝OD得∠DOB＝2∠DCE＝∠A.由AC为⊙O的切线知∠A＋∠B＝90°，从而∠DOB＋∠B＝90°，OD⊥AD即可得证；(2)S阴＝S△ODB－S扇形ODE.代入相关数据即可求出．
【解答】 (1)证明：连接OD，如图．
∵OC＝OD，∴∠DOB＝2∠DCE.
又∵∠A＝2∠DCE，∴∠DOB＝∠A.
∵AC为⊙O的切线，
∴AC⊥OC，∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠DOB＋∠B＝90°.
∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB.
∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．
(2)在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE.
∴sinB＝＝，∴∠B＝30°，∠DOB＝60°.
∵BD＝OB·sin60°＝4×＝2，
∴S△ODB＝×OD×BD＝×2×2＝2.
S扇形ODE＝＝.
∴S阴＝S△ODB－S扇形ODE＝2－.
